CSP-S 2025 第一轮 · 客观题精讲讲义

📄 阅读程序（一）· DFS 计数特殊排列

判断题正确填 A、错误填 B。统计 1~n 的排列 p 中，不存在「相邻位置后一个 = 前一个 +1」的排列数。

bool flag[27];
int n, p[27], ans = 0;
void dfs(int k) {
    if (k == n + 1) { ++ans; return; }          // 填满 n 个位置，计数
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (flag[i]) continue;                   // 第14行：i 已用过
        if (k > 1 && i == p[k - 1] + 1) continue; // 不能等于上一个 +1
        p[k] = i; flag[i] = true;
        dfs(k + 1);
        flag[i] = false;                         // 第19行：回溯
    }
}
int main() { scanf("%d", &n); dfs(1); printf("%d\n", ans); }  // 第25行 dfs

📄 阅读程序（二）· 两枚鸡蛋找临界楼层

k 为临界值（h≥k 会摔碎），最多 2 枚蛋（cnt_broken≤2）。guess1 线性逐层试；guess2 用「三角数」步长的最优策略。「猜测次数」= 调用 check 的次数。

int cnt_broken = 0, cnt_check = 0, n, k;
bool check(int h) {                       // 试探楼层 h
    ++cnt_check;
    if (cnt_broken == 2) return false;    // 没蛋了
    if (h >= k) { ++cnt_broken; return true; }
    else return false;
}
void guess1(int n){ for(int i=1;i<=n;++i) if(check(i)){ assert_ans(i); return; } }
void guess2(int n){                       // 先求最小 w 使 w(w+1)/2 ≥ n
    int w; for(w=1; w*(w+1)/2 < n; ++w);
    for(int ti=w, nh=w; ; --ti, nh+=ti, nh=min(nh,n)){
        if(check(nh)){                    // 第一枚蛋碎，第二枚线性补查
            for(int j=nh-ti+1; j<nh; ++j) if(check(j)){ assert_ans(j); return; }
            assert_ans(nh); return;
        }
    }
}  // 主函数：t=1 调 guess1，否则 guess2

📄 阅读程序（三）· 折半搜索（meet-in-the-middle）

统计满足 Σ kᵢ·xᵢ^pᵢ = 0（xᵢ ∈ [1,m]）的解数。把 n 个变量分两半，各自枚举所有取值之和，再配对求和为 0 的组合数。

int mpow(int x,int k){ int a=1; for(;k;k>>=1,x=x*x) if(k&1) a=a*x; return a; } // 快速幂 xᵏ
void dfs(vector<int>& ans,int& cnt,int l,int r,int v){
    if(l>r){ ++cnt; ans.push_back(v); return; }
    for(int i=1;i<=m;++i) dfs(ans,cnt,l+1,r, v + k[l]*mpow(i,p[l]));  // 枚举 x_l = i
}
// 主：dfs 前半得 ans1、后半得 ans2；ans1 排序去重并记重数 cntans1；
std::sort(ans2.begin(), ans2.end());                  // 第51行
// 双指针：对每个 ans2 找 ans1 中使和为 0 的项，累加重数 → ans

🧩 完善程序（一）· 带一条「免费边」的最短路

无向图非负边权，整条路径中至多选一条边首次经过时费用记 0。用分层 Dijkstra：状态 (结点 u, 是否已用免费 0/1)，d[u][0/1]。补全 ①~⑤。

d[s][0] = 0;
pq.push({0, s, __①__});                    // 起点，免费机会未用
while (!pq.empty()) {
    auto [dist, u, used] = pq.top(); pq.pop();
    if (dist > __②__) continue;            // 过期状态跳过
    for (auto &e : adj[u]) {
        int v = e.to, w = e.weight;
        if (d[u][used] + w < __③__) {        // 正常走这条边
            __③__ = d[u][used] + w;
            pq.push({__③__, v, used});
        }
        if (used == 0) {                       // 把这条边当免费边
            if (__④__ < d[v][1]) {
                d[v][1] = d[u][used];
                pq.push({d[v][1], v, 1});
            }
        }
    }
}
cout << __⑤__ << endl;

🧩 完善程序（二）· 组合编码的群体测试

n 条生产线恰有 1 条有缺陷，每轮把若干产品混批发货，含缺陷则退货(1)否则收货(0)，退货总数 ≤ k。求最少轮数 w 并给每条线分配一个「≤k 个 1」的不同码字以唯一定位。补全 ①~⑤。

// count_patterns(w,k): 长度 w、1 的个数 ≤ k 的码字总数
int solve(int n, int k){
    int w = 1;
    while (__①__) ++w;                // 取最小 w 使码字数 ≥ n
    cout << w << endl;
    vector<vector<int>> code(n, vector<int>(w, 0));
    int idx = 0;
    for (int ones = 0; ones <= k && idx < n; ++ones) {
        vector<int> bits(w, 0);
        fill(bits.begin(), bits.begin()+ones, 1);  // [1..1,0..0]
        do {
            for (int b=0;b<w;++b) code[idx][b]=bits[b];
            if (++idx >= n) break;
        } while (__②__);              // 枚举该 ones 下所有排列
    }
    vector<vector<int>> plan(w);
    for (int i=0;i<w;++i) for (int j=0;j<n;++j)
        if (__③__) plan[i].push_back(j);   // 第 i 批含第 j 条线?
    int signature = test_subset(plan);
    vector<int> sig_bits(w, 0);
    for (int i=0;i<w;++i) if (__④__) sig_bits[i]=1; // 取出第 i 位
    for (int j=0;j<n;++j) if (__⑤__) return j;   // 码字匹配的即缺陷线
}