B4534 桌面游戏（P6）— 解法全景与讲解

给定一个 3×3 棋盘，部分格子已填有互不相同的数字 1..9，0 表示空格。两位玩家 X 博士（先手）与 Y 博士（后手）轮流操作：

双方轮流直到棋盘填满。计分：

• x = 三行各自乘积之和；
• y = 三列各自乘积之和。

X 博士希望 最大化 x − y，Y 博士希望 最小化 x − y，双方均最优决策。每个测试输出：x>y 时 first，y>x 时 second，相等时 tie。

输入：T（1≤T≤20）组数据，每组 3 行 3 个整数。空格数 ≤ 9。数据规模：30% 数据空格 ≤2；60% 数据空格 ≤5。

举例：空格按行优先逐一被填入「当前最小可用数」，但 究竟哪个空格拿到这个数 由当前行动方按对自己最有利的方向选择。

因为「这一步放哪个数」是被强制的（剩余最小），所以搜索树的每一层只在「把当前这个固定的数放进哪个空格」上分叉。设当前还剩 e 个空格：

• 轮到 X（取走第 1、3、5… 个被填的数）的层 → 取所有子局面结果的 最大值；
• 轮到 Y 的层 → 取 最小值；
• 填满（e=0）→ 计算 x − y 作为叶子返回值。

谁先手由当前空格数的奇偶或一个传入的回合标志决定：X 先手，故第 0、2、4… 次填数是 X，第 1、3、5… 次是 Y。最坏情形 9 个空格，搜索树规模 ≤ 9! = 362880，乘以 T≤20 也仅约 7×10⁶ 个叶子，朴素 DFS 即可，无需记忆化或 α-β 剪枝（实测 20 组全空盘 < 0.2s）。

这是最普遍的「看似对」错误（266 份，27%）。典型写法（如 D338、C143、A074）：

// 把所有空格按从左到右、从上到下的顺序，依次填入剩余最小的数
for(每个空格 in 扫描顺序)
    for(int v=1; v<=9; v++) if(未用过 v){ 该空格=v; break; }
// 然后直接算 x、y 比较

当只有 1 个空格时，那个数字和位置都唯一，没有任何选择，结果必然正确——这恰好覆盖 30% 的子任务。但只要 ≥2 个空格，玩家是可以选位置的，且 X 和 Y 目标相反。「按扫描顺序填」相当于假设双方都把数放在固定位置、毫不博弈，自然算错。
还有一批（如 A011、A173）对 m==1 正确、对 m==2 手写特判，但 m==2 的特判往往也没正确实现「X 选位置后 Y 再选位置」的两层博弈，照样 WA。

本次「带递归 / 全排列」的 23 份里，只有 5 份真正对。常见四种致命 bug：

• ① 让玩家自选数字（违反强制规则）。A017 在每个空格上枚举所有剩余数字 none[i] 而非只放最小的那个——把题目读成「数字也能选」，博弈树完全错。
• ② 不是 minimax，而是「是否存在某种填法」。B074 用 get_good 把所有叶子或起来（只要存在一种填满方式让 X 赢就输出 first）；A083 预生成全部 9! 个满盘，匹配到任意一个 first 局面就判 first。这等价于「单人最优化」，忽略了对手会反向选择。
• ③ 把行列乘积写成求和、或 max/min 搞反。A090 用 next_permutation 枚举，却把行/列乘积写成了求和，且只对 X 单方最大化 x−y（无 min 层）。
• ④ 记忆化状态设计错。A046 带一个「轮次」偏移的 map 记忆化，状态与返回值耦合错误，对拍多处不符。

对拍结论：A017 / A046 / A083 / A090 / A115 / A152 / A162 / A344 / B020 / B074 / B163 / D061 / D222 / E238 / E295 / A173 … 均 WA（或编译失败）。其中 D061 在 20 组随机数据偶然通过、在覆盖全部空格数的 40 组数据上暴露错误——说明测试要覆盖各种空格数。

• 误读规则 把「放哪个数是强制的（剩余最小）」当成「玩家可自选数字」，在每个空格枚举 1..9——这是本题最致命、最隐蔽的错误。每层只放那个固定的最小数。
• 不是 minimax 写成「是否存在一种填法让 X 赢」（OR 所有叶子）或「X 单方最大化」（只有 max 没有 min），忽略对手反向选择。
• 顺次填空 把空格按扫描顺序填最小数后直接计分——只在 ≤1 空时对，是 30% 部分分的天花板。
• max/min 搞反或先后手搞反 X 是先手且最大化 x−y，Y 后手最小化；层的奇偶 / 回合标志要对应正确。
• 行列乘积写成求和 或行列下标转置写反，导致 x、y 计算错（A090 即此）。
• tie 处理 必须区分 >、<、== 三种，漏掉 tie 分支会错。
• 残缺/漏读 未读完 9 个数、或没填空就计分、或只写了一条输出分支。

E230/p6.cpp 仅特判 ≤2 空位 含 bug

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4;
int a[N][N];
string check() {
	int t[10]= {0};
	for(int i=1; i<=3; i++) {
		for(int j=1; j<=3; j++) {
			t[a[i][j]]++;
		}
	}
	if(t[0]>=3) {
		return "tie";
	}

	if(t[0]==2) {

		int x=0,y=0;
		for(int i=1; i<=9; i++) {
			if(t[i]==0) {
				if(x==0) {
					x=t[i];
				} else {
					y=t[i];
				}
			}
		}

		int a1[4][4],a2[4][4];
		int tmp=0;
		for(int i=1; i<=3; i++) {
			for(int j=1; j<=3; j++) {
				if(a[i][j]!=0) {
					a1[i][j]=a[i][j];
					a2[i][j]=a[i][j];
				} else {
					if(tmp==0) {
						a1[i][j]=x;
						a2[i][j]=y;
					} else {
						a1[i][j]=y;
						a2[i][j]=x;
					}
				}
			}
		}
		int sum1=0,sum2=0;
		for(int i=1; i<=3; i++) {
			int p1=1,p2=1;
			for(int j=1; j<=3; j++) {
				p1*=a1[i][j];
				p2*=a1[j][i];
			}
			sum1+=p1,sum2+=p2;
		}
		int sum_1=0,sum_2=0;
		for(int i=1; i<=3; i++) {
			int p1=1,p2=1;
			for(int j=1; j<=3; j++) {
				p1*=a2[i][j];
				p2*=a2[j][i];
			}
			sum_1+=p1,sum_2+=p2;
		}
		if(sum2>sum1||sum_2>sum_1) {
			return "second";
		} else if(sum2<sum1&&sum_2<sum_1) {
			return "first";
		} else {
			return "tie";
		}

	} else if(t[0]<2) {
		int tmp;
		for(int i=1; i<10; i++) {
			if(t[i]==0) {
				tmp=t[i];
				break;
			}
		}
		for(int i=1; i<=3; i++) {
			for(int j=1; j<=3; j++) {
				if(a[i][j]==0) {
					a[i][j]=tmp;
				}
			}
		}
		int sum1=0,sum2=0;
		for(int i=1; i<=3; i++) {
			int p1=1,p2=1;
			for(int j=1; j<=3; j++) {
				p1*=a[i][j];
				p2*=a[j][i];
			}
			sum1+=p1,sum2+=p2;
		}
		if(sum1>sum2) {
			return "first";
		} else if(sum1==sum2) {
			return "tie";
		} else {
			return "second";
		}
	}
}
int main() {
	int T;
	cin>>T;
	while(T--) {
		for(int i=1; i<=3; i++) {
			for(int j=1; j<=3; j++) {
				cin>>a[i][j];
			}
		}
		cout<<check()<<endl;
	}
	return 0;
}

思路：按空位个数分类讨论：t[0]≥3 直接 "tie"；==2 手动枚举两个缺失数字的两种填法；<2 把唯一缺失数字填入后算分。

不足：① 没有博弈/极小化极大，空位 ≥3 一律 "tie"，60%/100% 数据必错。② bug：x=t[i]、tmp=t[i] 取的是计数值（=0），应是数字 i，于是填进格子的是 0。③ ==2 时用 sum2>sum1||sum_2>sum_1 把两种摆法混在一起判，不符合"双方各自最优"。

如何提高：放弃分类讨论，直接写极小化极大 DFS——每层填"当前最小未用数字"（强制规则），先手取 max、后手取 min（见本页最佳范例 A124）。先把"取最小数字"和"x、y 计分"两个子函数写对再递归。

E118/p6.cpp 固定输出

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
	int t;
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=t;i++) 
		cout<<"tie\n"; 
	return 0;
}

思路：无论输入一律输出 "tie"。

不足：非解法，只能蒙中恰好平局的测试点。

如何提高：同上，按 A124 写极小化极大 DFS；即便先实现"≤2 空位的暴力枚举"也远胜固定输出。关键是抓住题眼：填入的数字是强制最小的，玩家只能选位置。