快速幂与筛法

一、快速幂：指数拆成二进制

要算 a^b mod p。把 b 写成二进制，底数不断平方（a, a², a⁴, …），哪一位是 1 就把对应的幂乘进答案。

绿色行 = 该二进制位是 1、把当前底数乘进了答案。循环次数 = b 的位数 → O(log b)，全程取模防溢出。

二、埃氏筛：划掉每个素数的倍数

从 2 开始，遇到没被划掉的数就是素数（紫），把它的倍数全划掉（红→灰）。处理完 2、3、5 后，剩下没划掉的就都是素数（绿）。

埃氏筛 O(n log log n)。线性筛让每个合数只被"最小质因子"划一次，做到 O(n)（见下方代码）。

三、模板（C++14）

long long qpow(long long a, long long b, long long p) {
    long long res = 1 % p;              // 防 p = 1
    a %= p;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % p;   // 当前最低位是 1，乘进答案
        a = a * a % p;                  // 底数平方
        b >>= 1;                         // 看下一位
    }
    return res;
}

// 线性筛：每个合数只被它的最小质因子筛一次 → O(n)
void sieve(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!notPrime[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; j < cnt && i * primes[j] <= n; j++) {
            notPrime[i * primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;   // 灵魂：保证只被最小质因子筛
        }
    }
}

取模下求 1/m! 要用快速幂求逆元（费马小定理）。组合计数见 组合数学。

小结