GESP8 · LCA · 路径贡献

树上差分

把很多次路径加值，压缩成端点和 LCA 附近的几次加减；最后一次 DFS 从子树往父亲汇总。

一、先回答问题

什么时候用

很多路径一起统计

树上有很多条路径，每条路径都要加 1、标记或统计覆盖次数，最后才统一查询。

优化掉什么

不再沿路径暴力走

每条路径暴力走可能是 O(n)。树上差分把一次路径操作变成 LCA 查询加四次左右的加减。

考前范围

点差分优先

八级复习先保点差分：u++ v++ L-- parent[L]--。边差分只需能区分。

二、核心模型

一维差分的还原是从左到右加前缀；树上差分的还原是从下到上加子树。

diff[u] += diff[child]

这句话的含义是：child 子树里的路径贡献，如果还没有被 LCA 附近抵消，就必须经过 u 继续往上走。

三、互动演示：路径 3 到 4 的点差分

diff[1]0

diff[2]0

diff[3]0

diff[4]0

目标：路径 3 → 4 上的点 3、2、4 加 1，点 1 不加。

步骤	操作	作用
1	`diff[3]++`	端点 3 产生贡献
2	`diff[4]++`	端点 4 产生贡献
3	`diff[2]--`	LCA 保留一份贡献
4	`diff[1]--`	阻止贡献传到 LCA 上方
5	DFS 汇总	子节点还原值加给父亲

四、两种公式

点差分

路径上的点加 k

int L = lca(u, v);
diff[u] += k;
diff[v] += k;
diff[L] -= k;
diff[fa[L][0]] -= k;

边差分

路径上的边加 k

int L = lca(u, v);
diff[u] += k;
diff[v] += k;
diff[L] -= 2 * k;

区别

LCA 要不要保留

点差分里 LCA 是路径上的点，要保留一份；边差分里 LCA 到父亲的边不在路径上，所以扣两份。

五、自己选答案

点差分路径 u → v 加 1，正确公式是哪一个？

还原时为什么是子节点加给父节点？

P3128 Max Flow P 更像哪一种？

六、C++14 核心代码

int diff[N];
vector<int> g[N];
int fa[N][LOG];

void add_point_path(int u, int v, int k) {
    int L = lca(u, v);
    diff[u] += k;
    diff[v] += k;
    diff[L] -= k;
    diff[fa[L][0]] -= k;   // 根的父亲是 0，0 号点不统计
}

void dfs_sum(int u, int p) {
    for (int v : g[u]) {
        if (v == p) continue;
        dfs_sum(v, u);
        diff[u] += diff[v]; // 子树贡献汇总到父亲
    }
    // 此时 diff[u] 就是点 u 的最终贡献
}

读代码时只盯两件事：路径标记用 LCA，最终答案用 DFS 子树和还原。

七、GESP8 复习定位

材料	定位	今天怎么用
P3379	LCA 模板	先写稳，树差依赖它
P3128	经典点差分	练公式和 DFS 汇总
P11967	GESP202503 八级真题	讲评用，理解路径覆盖