CSP-J 图论 · Floyd 第 2 梯 · 理解 k 的本质
P1119 灾后重建
同样是问最短路，但点会随时间一个个“修好”。这正好对上 Floyd 最外层 k 的含义。
一、先回答问题
结论
每修好一个村庄，就把它当作一个新的中转点 k，跑一层 Floyd。
因为询问时间不下降，所有询问只需一遍 Floyd 就能边解锁边回答。
先别这么写
每个询问都把可用点重新跑一遍完整 Floyd？
那是 O(询问 × n³)，会超时。关键是不要重复劳动。
二、核心观察
关键对应
Floyd 最外层 k 的含义是：“现在允许把第 k 个点当中转站”。
而本题里村庄是按修复时间先后一个个变得可用的 —— 这不就是
“按顺序开放中转点”吗？于是把村庄按修复时间排序，修好一个就跑一层对应的 k，天衣无缝。
三、互动演示：时间推进，村庄逐个解锁
样例 4 个村庄（编号 0~3），修复时间分别是 1、2、3、4 天。问 0→1 的最短路。
四、自己选答案
Q1. 为什么本题不能每次询问都重跑完整 Floyd？
Q2. 处理询问前，村庄应该按什么排序？
Q3. 询问 (x, y, t)，什么时候必须输出 -1？
五、手推结果（样例 4 个询问）
| 询问 | 此刻已修好 | 0→1 | 输出 |
|---|
| t=2，问 0→2 | 0,1 | 村庄2没修好 | -1 |
| t=2，问 0→1 | 0,1 | ∞（不通） | -1 |
| t=3，问 0→1 | 0,1,2 | 0→2→1 = 5 | 5 |
| t=4，问 0→1 | 0,1,2,3 | 0→2→3→1 = 4 | 4 |
六、C++14 参考代码（核心片段）
注意那个不断前进的指针 k
① 村庄按修复时间排序，用指针 now 记录“已经解锁到第几个”。
② 每解锁一个村庄，就以它为 k 跑一层（两重 i,j 循环），而不是整套三重循环。
③ 回答前先判：x、y 都已解锁，且 dist[x][y]≠INF，否则输出 -1。
七、接着练（同梯度）
- 基础：B3647 模板 Floyd —— 先把朴素三重循环写熟。
- 巩固：P3905 道路重建 —— 另一种“边权设计”思路。
- 提升：P1841 重要的城市 —— Floyd 后对最短路矩阵做分析（提高+）。