把长度排序后，枚举当前木棍 x 作为选中集合里“最后一根最长木棍”。
这时只要数：前面的木棍能选出多少种方案，使长度和 > x。这个数量用 01 背包计数维护。
P14360 [CSP-J 2025] 多边形
从“能拼成多边形”到“固定最长木棍，再用 01 背包数方案”。
一、先回答问题
本题训练的不是一个单独技巧，而是一条建模链：
条件变形 → 固定最长木棍 → 排序避免重复 → 背包计数。
二、相关知识点讲解
题目给出的条件是：
总长度 > 2 × 最长木棍
设最长木棍是 mx，其他木棍长度和是 rest，那么：
rest + mx > 2mx，因此 rest > mx
所以判断重点变成：其他木棍加起来，能不能超过最长木棍。
直接数一个集合很难，因为每个集合大小不同、最长木棍也不同。
我们固定“最长木棍”后，剩下的选择就只看长度和。这是很多计数题常用的切入点。
固定最大值 x → 统计前面若干个数的和是否 > x
第 1 步
排序。
让“前面的木棍都不超过当前木棍”。
第 2 步
枚举当前木棍 x。
它负责统计以自己为最后最长木棍的方案。
第 3 步
查背包。
前面木棍的选法里，长度和 > x 的都能和 x 拼成多边形。
第 4 步
加入当前木棍。
它会成为后面更长木棍的“可选前缀”。
三、为什么不会重复统计
关键规定
每个合法方案，只交给它里面“排序后下标最大的最长木棍”来统计。
如果最长长度出现多次，比如长度都是 2，也没关系。排序后它们仍然有先后位置，一个方案只由选中的最后那个最大值负责。
2
2
3
8
10
例子：方案 `{3, 8, 10}` 会在枚举 `10` 时被统计；方案 `{2, 2, 3}` 会在枚举排序后那根 `3` 时被统计。
四、互动演示：样例 1 怎么算出 9
样例 1 排序后仍是：
当前最长木棍 x
-
累计答案
0
前面可选木棍
-
本轮新增
0
点击“下一步”，观察每次枚举最长木棍时，哪些长度和会被计入答案。
绿色格子表示：前面木棍能凑出的和已经大于当前最长木棍 x，所以可以和 x 组成合法多边形。
五、手推计算过程
| 当前 x | 前面木棍 | 前面能凑出的长度和 | 大于 x 的方案数 | 累计答案 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 无 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0, 1 | 0 | 0 |
| 3 | 1, 2 | 0, 1, 2, 3 | 0 | 0 |
| 4 | 1, 2, 3 | 0, 1, 2, 3×2, 4, 5, 6 | 2 | 2 |
| 5 | 1, 2, 3, 4 | 0, 1, 2, 3×2, 4×2, 5×2, 6×2, 7×2, 8, 9, 10 | 7 | 9 |
复习提示
表里的 `3×2` 表示长度和为 3 的选法有 2 种：选 `{3}` 或选 `{1,2}`。
本题数的是“下标集合”的方案数，所以相同长度的木棍如果下标不同，也要当作不同选择。
六、自己选答案
如果当前最长木棍长度是 10，其他木棍长度和至少要满足什么？
为什么背包更新要倒序循环？
为什么可以把超过 5000 的长度和都记到 5001？
七、C++14 参考代码
- `dp[0] = 1`：表示前面什么都不选，也是一种方案。
- 先统计答案，再加入当前木棍：因为当前木棍要当“最长木棍”，不能又跑进“其他木棍”。
- `min(LIM, s + x)`：把超过 5000 的和统一封顶到 5001。
- 把 `rest > mx` 写成 `rest >= mx`。
- 没有排序，导致“最长木棍”这个角色不稳定。
- 正序更新背包，让一根木棍被重复使用。
P14360_solution.cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
const int LIM = 5001; // 5001 表示长度和已经超过 5000
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n;
cin >> n;
vector<int> a(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
}
sort(a.begin(), a.end());
vector<int> dp(LIM + 1, 0);
dp[0] = 1;
int ans = 0;
for (int x : a) {
// 当前木棍作为最长木棍，前面选出的总长度必须大于 x。
for (int s = x + 1; s <= LIM; s++) {
ans += dp[s];
if (ans >= MOD) ans -= MOD;
}
// 01 背包：把当前木棍加入后续可选集合。
for (int s = LIM; s >= 0; s--) {
int to = min(LIM, s + x);
dp[to] += dp[s];
if (dp[to] >= MOD) dp[to] -= MOD;
}
}
cout << ans << '\n';
return 0;
}八、课后复习路线
P1048 采药
练 01 背包的倒序更新。
P1164 小A点菜
练“不是求最大值，而是数方案数”。
P14360 多边形
练排序后固定最大值，再用背包统计前缀方案。