CSP-J/S · 数据结构

线段树 (Segment Tree)

区间改 + 区间查，都 O(log n)。关键直觉：递归到"区间被完全覆盖"就停下，区间修改在那里打一个懒标记。

一、互动：一次区间操作只碰 O(log n) 个节点

这是 [1,8] 的线段树。输入区间 [x,y]：query 看哪些节点被"完全覆盖"直接返回（绿）、哪些要继续递归（蓝）；update 里被完全覆盖的节点改打懒标记（紫）。没被碰到的节点是灰的。

x y

完全覆盖 → 返回/打标记部分重叠 → 继续递归懒标记落点未访问

输入区间，点 query 或 update。

二、模板核心：完全覆盖就停 + 懒标记

void update(int p, int l, int r, int x, int y, long long v) {  // [x,y] += v
    if (x <= l && r <= y) { sum[p] += v*(r-l+1); lazy[p] += v; return; }  // 完全覆盖→打懒标记
    pushdown(p, l, r);                       // 下行前把欠的标记传给孩子
    int m = (l + r) >> 1;
    if (x <= m) update(p<<1, l, m, x, y, v);
    if (y >  m) update(p<<1|1, m+1, r, x, y, v);
    sum[p] = sum[p<<1] + sum[p<<1|1];
}
long long query(int p, int l, int r, int x, int y) {
    if (x <= l && r <= y) return sum[p];      // 完全覆盖→直接返回
    pushdown(p, l, r);
    int m = (l + r) >> 1; long long res = 0;
    if (x <= m) res += query(p<<1, l, m, x, y);
    if (y >  m) res += query(p<<1|1, m+1, r, x, y);
    return res;
}

数组开 4n。只单点改区间查用树状数组更轻；静态区间最值用 ST 表。

小结

① 结构
区间一分为二的二叉树，根管 [1,n]，叶子管单点，树高 O(log n)，数组开 4n。

② 完全覆盖就停
递归时区间被询问完全盖住就返回/打标记 —— 这保证每层只碰常数个节点。

③ 懒标记
区间改先在覆盖节点"欠着"记 lazy，下行前 pushdown 传给孩子。

④ 适用
区间改 + 区间查都 O(log n)，比树状数组通用，但代码长、常数大。